İtirafım Var!!!

Sayın Levent,

Nedenleri bulmaya çalışıyoruz...
sorunun ne olduğunu daha bilmiyorken diyorsunuz; farklı bakış açılarından bir şekilde ulaşmaya çalışıyoruz. Ne kadar verimli olacak bilmiyorum ama deniyoruz...
Nedenler çok fazla demişsiniz; illa ki!! araştırıyoruz..

Sonuçta zaman buldukça (kendi adıma) yazmaya gayret gösteriyorum..

Sevgili Siyahbeyaz;

Sanırım beni yanlış anladınız. Yazma konusunda her türlü çabanızı destekliyorum. Başından beri yazdıklarımı kendi üzerinize alınıyorsunuz, sizi amansızca eleştirdiğimi varsayıyorsunuz. Bunu en başında belirtmeliydim: yazdıklarımın sizle ve sizin yazdıklarınızla bir ilgisi yoktur. Bu yüzden kendi üzerinize alınmayın.
Zaman buldukça yazmanız iyi. Ayrıca bildiğim kadarıyla yazmayı seven bir insansınız. Yazmanın, düşünmenin zorluklarını az çok bilen birisisiniz. Bundan dolayı lütfen alınmayın ve yazın, yazmaya devam edin, bence oldukça güzel yazıyorsunuz. Sizi okumaya devam edeceğim.

Sevgili levent,

Kısır döngüye girdik gibi:))) Yok ben üzerime alınmadım; alınacak bir konumum yok...sadece bu konunun isim annesiyim:) ama bir var ki ben bu yazıyı yazarken boyutun buraya kadar gelebileceğini düşünmemiştim. Sadece yazmış ve bu sitedekilerle paylaşmak istemiştim. Ha, fena mı oldu? Bence iyi oldu..Ama bir yazımda da dile getirdiğim gibi sesler olmadan saldırı içerikli gibi algılanabiliyor en iyiniyetli kelimeler...Amansızca:))) siz rahat olun Levent Bey, eğer böyle bir şeyi gerçekten hissetmiş olsaydım emin olun daha farklı bir yöntem izlerdim:) Benim derdim madem sosyologsunuz ve madem bunların bir şekilde içindeyiz;ister oyuncu ister gözlemci; birbirimizin bakış açılarını öğrenmek...sonuçta herkes mutlaka birşeyler alacaktır, alamayanlar da olacaktır. Ben bir iktisatçıyım ama kitap yazan biri olarak gözlemciyim de; siz bir sosyologsunuz hem bu konunun da dahil olabileceği bir bilimin temsilcisisiniz hem de bir gözlemci...Sadece fikirlerinizden yararlanabiliriz diye düşünmüş ve soru sorarak sizi bir şekilde dahil etmeye çalışmıştım...

yazılarım hakkındaki güzel düşünceleriniz için teşekkür ediyorum..
çok yoğunsunuz sanırım, ehh o zaman size de kolay gelsin...

Bazen zamansızlıktan bazen zaman olduğu halde isteksizlikten katılamıyorum konulara. üzerinden epey yorum geçmiş bir konu var yukarıda: Sosyolojide tümdengelim mi, tümevarım mı? Sosyolog değilim (ve sanırım asla olamam) fakat fikrimce sosyoloji olayları ve toplumları incelerken belirli kurallar ortaya koymayı hedeflemez(doğrusu bunu başarması mümkün değildir de). Dolayısıyla bu bilim dalı için tümevarımdan bahsetmek mümkün değildir. Tümevarım mantığı gereği değişmez şablonlara ihtiyaç duyar. Örnek: 2 ile 2 toplandığında her zaman 4 eder. bu tüme şablon kullanılarak başka sonuçlar elde etmek mümkündür. Fakat sosyoloji "şu olay olursa ve bu şart gerçekleşirse falanca sonuca ulaşırız" diyemez. En fazla söyleyebileceği "falanca sonuca ulaşma ihtimali vardır" olur ki bu sosyolojide tümevarım metodunun kullanılmasının imkansızlığını bize gösterir.
Ben böyle düşünüyorum. Yorumlarınız, hem sosyal hem kişisel problemlerin çözümünde metod geliştirme konusunda yol almamızı sağlayacaktır.
Selamlar,

Sevgili Arkadaşlar,
bir yanlış anlamadan dolayı hislere dayalı bir tepki verdim. Başta siyahbeyazoykuler olmak üzere hepinizden özür diliyorum .
mim abimin bizleri siteye davet eden iltifat dolu sözleri için de ayrıca şükranlarımı sunuyorum.

Yaradan'ımdan birdaha bu durumlara düşmemek için dua ediyorum ve on emirden bir pasaj alıyorum.
Belki konunun içine limon sıkmak gibi olacak ama Kuantum teorisine başlamadan önce de iyi gidecek belki.
Sağlıcakla kalın.

ON EMİR’den

Hiçbir kavgada, asla belden aşağı vurmayacaksın.
Onun kişiliğini yıkacak şeyler söylemeyeceksin; onun zaaflarını kavgada koz olarak kullanmayacaksın.
Sevdiğin insanla "yenmek" için kavga etmeyeceksin.
Bir insan kendisini aşağılayan bir ilişkiye uzun süre katlanmaz;
katlansa bile, sen böyle bir şeye katlanan birine katlanamazsın.
O yüzden "yenmeye/yenilmeye" hiç başlama!

2x2=4 varsayım değil, genel geçerdir. ne zamanda, ne mekanda ve ne şartta olursanız olun 2x2=4 eder. bunun için kanıtlanması süregelen tekrarlarla yapılmış bir genel geçerdir.

Sosyolojide tümevarım metodunun nasıl kullanılabileceği ile ilgili açık ve net bir örnek verebilecek biri çıkarsa tüm düşüncelerim baştan ayağa değişecek. Var mı?

sayın soyut duruş,

şu sözlerle hangi yazıya gönderme yaptınız?

"Ş ana kadar burda yazılan yazıları ilgiyle okuyordum taki bu sayfanın en başındaki neyse adı işte makale mi ne derseniz onu okuyasıya kadar (galiba bu parça herkeste olan bi şeylerin kaybedilmişler arasındaki boşluğunda kalmış değerlerin değersizliğini koruyor)

bir de parantez içine aldığım cümlenizde ne demek istediniz...toparlayamadım da...daha net anlatırsanız sevinirim..

Gerçek hayatta bir insanı tamamen yalancı olarak niteleyemezsiniz.(ahlaki açıdan değil) Sürekli yalan söyleyen bir ruh hastasını bile konu ediniyor olsanız asla "matematik kesinlik" içinde bu kişinin söylediği herşey ve her zaman yalandır diyemezsiniz. BU MÜMKÜN DEĞİLDİR. GERÇEK HAYATTA BU BÖYLE OLMAZZZZ.
Teorik olarak ortaya koyduğunuz varsayım "koniks üyesi bülent, ahmet, mustafa, remzi...yusuf yalancıdır öyleyse koniks üyeleri yalancıdır" genellemesi bilimsel bir uygulanabilirlik taşımamaktadır. Hiç bir sosyal bilim dalında bu tip bir genelleme yapılması mümkün değildir.

Bilgisayar programları yoğun olarak tümevarım metodunu kullanmak zorundadırlar. Kanıtlanmış ve tanımlanmış koşullar karşılaştırılarak sonuca ulaşılır. Yapay Zeka çalışmalarının önündeki en büyük engel de bu dur zaten. Çünkü Sosyal Bilimler tüme varım metodunu kullanamazlar. Çarpıcı bir örnek:
Bir kişinin;
Saç, ten, göz rengi,
boyu,
kilosu,
yaşı,
cinsiyeti
yüz hatları,
diğer fiziksel özellikleri
kaydedilerek o kişinin kim olduğu bulunabilir. Yani veri tabanındaki bilgiler karşılaştırılarak tanım ve tarif bilgileri verilen kişinin kim olduğu bilgisayarlar tarafından TÜMEVARIM metodu ile bulunabilir. Fakat bu kişinin bir ikizi veya üçüzü olduğu taktirde bilgisayar yani TÜMEVARIM metodu çuvallayacaktır. Devam edelim ve varsayalım ki ikizi ile ilgili bir başka ayırd edici kriter karşılaştırma değeri olarak programa eklensin. Böylece program o kişinin ikizlerden hangisi olduğunu tanıyabilsin. (şimdi sosyal bilimleri ilgilendiren bölüme geçiyoruz) Bu kişilerden biri öğretmen diğeri katil olsun. Tümevarım metodu ile belirlenen fiziksel özellikler tüm dünyadaki diğer kişilere uygulanarak kimin katil kimin öğretmen olduğunu bulabilir misiniz? Bu kesinlikle mümkün olmaz. Kişiler o anda bulundukları hal ile tanımlanırlar ve o halden yola çıkarak çözümlenebilirler. Kişileri ve toplumu bulundukları o hale getiren etkenler kural olarak belirlenemeyecek kadar çok ve bir birleri ile çoklu çapraz etkileşimler içindedir. "o hale" gelmelerinin nedenlerini tespit edebilir bunlara karşı tedbir almaya çalışabilirsiniz. Zaten sosyal bilimlerin var oluş amacı budur. Ancak asla şu ve şu şartlar oluştuğunda "kesinlikle" bu sonuç ortaya çıkar diyemezsiniz. Böyle bir şey olsa idi, insanlar falcılara, medyumlara akın etmezdi.

Konuyu çok dağıtmak istemem (gerçi darmadağın oldu ya) ama bu konuşmalar ile güncel bir vakayı bağlamakta fayda görüyorum.

Amerika, İsrailin talebi doğrultusunda şu anda Irakta Ortadoğu ülkelerinin nasıl işgal edileceği, halkın nasıl tepkiler vereceği, hangi zorluklarla karşılaşacakları gibi konularda prova yapıyor. Türkiye'yi de içine alan geniş bir çember içindeki halklar etnik yapı olarak birbirleriyle tamamen benzeşmektedir. İnanç, gelenekler, fiziki yapı, yaşayış biçimleri, aile yapıları, karakter yapıları vs. bakımından bir çok benzerlik ve aynılık gösteren bu halkların kontrol altına alınabilmesi için gereken veriyi uygulamalı olarak toplayan Amerika, bu çember içindeki diğer ülkelerin de nasıl kontrol edilebileceği konusunda büyük bir tecrübeye sahip olacaktır.
Tecrübeye sahip olacaktır fakat hiç bir zaman matematik kesinlik içinde kontrol edilemeyen sosyal olaylar, Amerikanın bu büyük veri tabanı ve tecrübeleri ile diğer ülkeleri de rahatlıkla işgal edebilmesini engeleyecektir. Aslında sözün özü kontrol edilemeyen, kesinlik ortaya konulamayan bu olguya biz "KADER" diyoruz.
Kaderin, tümevarım metoduyla çözümlenmesi mümkün olsaydı herkes ateist olurdu:)

Selam vs.,

Bir bilgisayar mühendisi olduğunuz için "hiç bir konuda kesinlik yoktur" anlamındaki ifadenize şaşırmış bulunuyorum.
Eğer kesinlik olmasaydı bilgisayarlar tasarlanamaz, bilgisayar programları yazılmazdı.
D=b2-4ac gibi matematik formülleri ortaya konulamazdı.
H+O2=HO2 gibi kimya formüllerinden söz edilemzdi.
E=mc2 gibi formüller fizik bilimine damgasını vuramazdı.

Bunlar çok basit bir gerçekler.
Bu formülleri kullanıyorsanız tümevarımı kullanıyorsunuz demektir.
Sosyal bilimlerde bu tip formüller ortaya koyamıyorsanız (-ki koyamazsınız) tümevarımdan bahsedemezsiniz.

Mim, "Tahmin" ve "Matematik Kesinlik" arasındaki farkı bir gün öğrenmenizi diliyorum.

Konu bu şekilde tek bir noktada kısır ve faydasız bir döngüye girdiği için ne bana ne diğer takipçilere fayda sağlamayacağına karar verdim. Ben bitiriyorum. dileyen devam edebilir.

Kolay gelsin,

Siz devam edin, bana sıkıcı gelmeye başladı bu konu.

sevgili, siyahbeyazoykulere,
Bu yazıya şöyle bir cevap vermem uygun olacaktır.Dostum
insan hata yapmaya elverişli yaratılmıştır.. Nehirler dağların eteklerinden, doruklardan doğar. sert kayaları delerek kıvrıla kıvrıla denize kavuşur. Hepimiz bedeli pahalı olan bütün değerleri ucuza almak için yarış içindeyiz. gün olaki bu hayat çarşısında dolaşırken küçük dilencilere büyük paralar kaptırıyoruz.. Bu yarış hep böyle devam ediyor.. Tecrübe demek hayatta yediğimiz kazıkların bileşimi amaç kazık yememek aman dikkat!

Merhabalar,

Güzel bir yaklaşım... Ama şunu söylemeliyim...benim için kazık yememek bir amaç olamaz...fakat yememek için dikkatli olabilirim...:)

Amaç daha farklı benim düşünceme göre... Kelimelere yüklediğim anlamlar bazen böyle sayemde kişilik(!) değiştirebiliyor. Belki aynı anlama denk düşecek şekilde yaşıyor ve yaşatıyor olabilirim ama "hissetmek" olgusu bu noktada da benim için ağır basıyor.. Kendimce yer değiştiriyorum....

amaç=dikkat

mim sana katılıyorum.. kesin bir şey yoktur evrende 100 de herşeyde fire vardır.. insan bu fireyi aşağıya doğru çekmek için uğraşır bunu ,matematik fizik kimya fen bilimlerinden yararlanarak yapar.. kesinlik olan şeyler beynimizn hükmedebilidiği kadardır.oysa daha insna beyninin yarısından çoğu bilinmediğinme göre hükmedemeiklerimiz hükmediklerimizden fazladır..

Burada yazılanlar da hayli karışmış görünüyor. Konu nereden nerelere gelmiş. Tümevarım, tümdengelim, sosyoloji, belirsizlikler filan konuşuldu. Bende bu bölümde insanların bir şeyler "itiraf" edeceğini sanıyordum ama yanılmışım.
Kuantum mekaniği, gödel kuramı, zamanda geriye gidiş vb şeyleri tartışıyor günümüz bilim dünyası.
Beni en çok etkiliyen ise gödel kuramıdır.
Çok önceleri yani okulda okurken matematiği severdim. Cauchy, Erdos, Gödel, Hilbert, Minkowsky beni büyülerdi. Matematikle fizik arasındaki o ilginç bağlantılar kafamı kurcalıp durardı. Fena halde tutkundum matematiğe anlayacağınız. Tüm harçlığımla matematik kitapları filan alırdım.
Ama tüm düşler zamanla tuzla buz olabiliyor.
Kesinlikler var mıdır yok mudur dan ziyade hayatın zorlukları karşınıza çıkıyor. Sanki kafanıza düşen bir sanki, bir balyoz gibi uyanıyorsunuz. YAşamın düş değil gerçek olduğunu çektiğiniz acılar hatırlatıyor size.

SEVGİLİ YORUMCULAR,

ŞU KESİNLİK MEVZUU HAKKINDA ATLADIĞINIZ UNSUR MUTLAK HATADIR...
ANCAK MUTLAK HATA İNSANOĞLUNUN YAPTIKLARINI ENGELLEMEYEN BİR UNSURDUR..
ÖNEMLİ OLAN İZAFİYET KAVRAMINI NE KADAR DOĞRU OLARAK KULLANDIĞINIZDIR...
MİM ARKADAŞIN BAHSETTİĞİ AÇILIMA MUTLAK NAZARİYET TEORİSİ DENİR AMA BU İNSANOĞLUNU PEK İLGİLENDİRMEZ...DÜŞÜNSENİZE BİLİMSEL YAKLAŞIMLARDAKİ VARSAYIMLARLA VE İHMAL ETTİKLERİMİZLE BUGÜNKÜ NOKTALARA GELMİŞ İNSANOĞLU KİMBİLİR DAHA NELER BAŞARACAKTIR..KENAN ARKADAŞIN YAKLAŞIMI İSE TEOLOJİK TEMELLİ BİR VARSAYIMDIR..
KISACASI;
FARKLI BİR BAKIŞ İÇİN YAZIYORUM BUNLARI..
ÖNEME KONU OLAN, İZAFİYETİN GÖZARDI EDİLMİŞ OLMASIDIR YAZILARINIZDA..VE BU ÇOK ÖNEMLİDİR..
ÇÜNKÜ SONUCU DEĞİŞTİREN, HEMDE TA BAŞINDAN BERİ DEĞİŞTİREN UNSURDUR..

İYİ GÜNLER HERKESE

Devam etmeyecektim fakat bu noktada açıklama yapmam elzem oldu.

Yazılarımın bir yerinde "kader" kelimesi geçtiği için yapılan tümden teolojik yakıştırmasını kabul edemeyeceğim dostum. Zira yaşadığımız hayatın değişkenlerinin herbirinin bir diğerini sürekli etkilemesi sonucu ortaya 'sonsuz' sayıda yeni değişken çıkar. Bu ifade tamamen matematiksel bir ifadedir. Sonsuz sayıda değişkeni formüle edemeyeceğiniz için 1 saniye sonrasını bilemez ve kontrollü olarak değiştiremezsiniz. Evren büyük patlamayla var olduğundan beri hiç bir anı bir diğeriyle aynı olmamıştır bu yüzden. Her an yeni ve yeniden yaratılmaktadır. Üstelik hiç bir anı birbirine benzemeyecek şekilde. İnsan aklının ve en güçlü bilgisayarların bile hesaplayamayacağı bilinmeyen bir sonraki anı kastederek buna 'kader' dedim. Bu bilgiler ışığında baktığınız zaman gelecek bilinmeyendir. Hayat, %100 kesin bir ifadeyle kaotiktir.

Mim'in ifade ettiği gibi, hayata geçirmeye kalktığınız her formül 1 ohmluk bir direncin gerçekte tam 1 ohm olmaması veya %100 alkol olmaması örneklerinde olduğu gibi kesinlik elde edemezsiniz. Burada vedatakagunduz'un belirttiği gibi mutlak hata ortaya çıkacaktır. İşte anlaştığımız nokta bu. Fakat ortam değişkenleri (ısı, basınç, zaman vs gibi) hesaba katıldığında matematik sayesinde mutlak hatayı da formüle etmek mümkün değil mi? Yani kağıt üzerinde mutlak hatayı da hesaplayabilirsiniz.

Çok açık bir örnekle konuyu bağlamaya çalışacağım:

Elimizde iki adet film kaydı olduğunu varsayalım Bunlardan biri manyetik şerit kullanan bir video kasedi olsun. Diğeri de bilgisayarımızda kayıtlı bir mpeg dosyası.

En hassas cihazlarla video kasedindeki kaydı çoğaltarak bir başka kasede kopyalayalım. Sizce kopya ile asıl %100 aynı mıdır? Durmayalım bir kopya kaset daha hazırlayalım. Sizce 2. kopya asıl ile aynı mıdır? Hatta ve hatta 2.kopya, 1.kopya ile aynı mıdır? Cevap: Hiçbir zaman aynı olmaz. Mutlak hata ile burada karşılacakmışız demekki...

Şimdi filmimizin bilgisayarımızdaki mpeg kaydını çoğaltalım. Önce bir başka klasöre, sonra ağ üzerindeki bir başka bilgisayara ve daha sonra internet üzerindeki binlerce bilgisayara kopyalar gönderelim. Sizce bu kopyalar bir birinden farklı mıdır? Cevap: Her bir kopya dosya hem bir diğeri ile hem de asıl dosya ile %100 aynıdır.

Bu ne demek oluyor?
Birinci işlem yani manyetik bantların kopyalanması analog bir veri aktarımıdır (yazılarımızda geçen sosyoloji ile örtüşür) sonucu tahmin edebilirsiniz ama asla %100 bilemezsiniz. Üstelik hiçbir kopya bir diğerinin aynı olmaz. Her kopya yeganedir.

İkinci işlem ise sayısal verilerin çoğaltılmasıdır. (yazılarımızda geçen matematik kesinlik ifadesini temsil eder) Her kopya hem aslın hem de diğer kopyaların tamı tamamına aynısıdır. Çünkü burada bir takım matematik formüller ve işlemler kullanılmıştır.

Sosyal olayları ve diğer analog verileri bilinme konusunda imkansız kılan sonsuzluğu barındırıyor olamalırıdır.

Aynı şekilde matematik de sonsuzlukla işlem yapmaya kalktığında çuvallar. Örneğin 4 sayısını 3'e böler sonucu tekrar 3 ile çarparsanız 0,01 birden bire buhar olup kaybolur veya 0,001, ne kadar hassas işlem yaptığınıza bağlı olarak sıfırlar çoğalacak fakat asla bitmeyecektir. Oysa 4 elmayı 3 bölüp tekrar birleştirirseniz yine 4 elma elde edersiniz. Hemen burada Levent'e katkıda bulunması konusunda bir çağrı göndereyim.:)

Neyse, laf uzadıkça uzadı. Bir yerde bitirmeli artık.

Herkese selam.

Matematiksel sonsuzluk hakkında en çok kafa yoranlardan biri de Cantor olmuştur. Cantor bize düşündüğümüz anlamda tek bir sonsuz olmadığını göstermişti. Örneğin doğal sayılar kümesi ile reel sayılar kümesi birebir eşlenemez. Diğer bir deyişle reel sayılar daha üst boyutta sonsuzlar kümesidir. Sonsuz sayıda doğal, sayısonsuz sayıda reel sayıların karşısında sanki eziklik duyar.

Sonsuzların sonsuzu ve böylece akıl almaz şeyler ortaya çıkar. (Matematiksel bir dil ve notasyon kullanmadığım için matematikçiler kızmasın bana.)Cantor söylediklerini bir türlü anlatmayı, beceremedi ve yıllar sonra anlaşılabildi.
"
Matematikte Bunalımlar
Matematiğe çok kez gelişimini doğru bir çizgi üzerinde sürdüren (ya da adım adım ilerleyen), problem-lerini er geç çözüme ulaştıran istikrarlı bir bilim gözüyle bakılır. Fakat bilimin diğer dallarında tanık olduğumuz türden duraklama, yoklaşma ya da bunalımlara; görüş yaklaşım ve yorum farklılıklarına matematikte de rastla-maktayız. Ancak her bunalımı, tüm olumsuz görünümüne karşın, yeni bir atılım veya açılmaya giden yolda baş-langıç koşulu olarak adlandırabiliriz. Bunalımlar, kısa ya da uzun sürsün hiçbiri geçici bir bocalama olmaktan ileri geçememiş; kimi kez sanıldığının tersine, matematiği ne geçersiz ne de işlemez kılan bir olay olmuştur. Tarih boyunca matematiğin geçirdiği bunalımları dört ayrı ana bölümde toplayabiliriz: gibi rasyonel olmayan sayıların yol açtığı, başlangıçta “olanaksız” ya da “saçma” sayılan negatif (-1) ve sanal () sayıların ortaya çıkmasıyla süren bunalım; Başlangıçta sağlam bir temele oturtulamayan ve kavramsal belirsizlik içinde kalan diferansiyel ve integral hesapların yol açtığı bunalım; Euclides’in 5.pustulatına ilişkin kuşku ve doyumsuzluktan kaynaklanan, Euclides dışı geometrile-rin ortaya çıkmasıyla büyüyen bunalım; Kümeler teorisinde başlayan paradoksların yarattığı, daha sonra Gödel teoremleriyle yeni bir boyut kazanan bunalım.
İlk Bunalım :
İrrasyonel Sayılar
Matematikte bilinen ilk bunalım antik Yunan döneminde (İ.Ö. 5.y.y.) ortak ölçüsüz büyüklüklerin bulunmasıyla ortaya çıkar. İki tamsayının bölümü olarak belirlenemeyen doğru parçalarının varlığı,örneğin ke-narı bir birim olan karenin köşegeni, rasyonel bir sayı ile belirlenemeyen bu türden bir doğru parçasıdır. Bunun yanı sıra Zeno’nun adıyla anılan birtakım paradoksların ortaya çıkmasıyla matematikteki bunalım yoğunluk kazanır. Değişik biçimlerde dile getirilen Zeno paradokslarının ortak özelliği şöyle bir varsayıma dayanmakta-dır: Sonlu bir sürede sonsuza giden sayıda devinime olanak yoktur.(Zeno paradoksunun yakından bakıldığında bir çıkarım hatasından kaynaklandığı görülür: Bir büyüklüğün sonsuz sayıdaki bölümlerinin toplamı o büyüklü-ğü sonsuz yapmaz.) Matematiğin bu ilk bunalımdan çıkması kolay olmamıştır. İlk bunalımdan kurtuluş arayışları başlıca iki gelişmeye yol açmıştır: İlginin sayısal kuramlardan geometriye kayması. Geometrinin aksiyomatik bir sistem olarak oluşması.
İkinci Bunalım :
Sonsuz Küçükler Hesabı
Modern matematik başladığında, matematik geleneğinde iki düşünce saklıdır. Bunlardan biri, Antik Yunan matematiğinden kaynaklanan ispata dayalı geometri, diğeri Hint ve İslam matematiğinde ön plana çıkan sayı kavramı ve ona dayalı cebir. Bugün bildiğimiz matematiği büyük ölçüde XVII. yüzyılda gerçekleşen iki önemli buluşun yol açtığı gelişmelere borçluyuz. Bunlardan ilki Descartes (1596 - 1650)’in o zamana dek birbirinden tümüyle ayrı görünen matematiğin iki dalını, geometri ile cebiri, birleştirme çabasının bir ürünüdür. Şimdi analitik geometri olarak bilinen bu çalışmada, koordinatlar aracılığıyla eğrileri denklemlerle, dolayısıyla eğrilerin geometrik özelliklerini cebirsel formüllerle belirleme olanağı doğar. Üstelik denklemleri de grafikle dile getirmeye olanak sağlamakla analitik geometri, cebirin analize dönüşmesine, bu arada değişken, fonksiyon ve fonksiyonel bağımlılık gibi kavramların belirginleşmesine, bu kavramların geometrik terimlerle ifadesine yol açar. İkinci büyük gelişme, daha sonra analiz denen çalışmaya yol açan, Newton ile Leibniz’in birbirinden bağımsız olarak oluşturdukları sonsuz küçükler hesabıdır.(infinitesimal calculus) XIX. yüzyıl matematikçileri, ulaştıkları parlak başarıların etkisinde, eleştirel tutumdan uzak kalmış, her şeyin yolunda olduğu gibi bir iyimserlik havasına girmişlerdi. Bu yüzden olmalı ki, ne analitik geometri, ne de sonsuz küçükler hesabı sağlam bir temele oturtulmadan kalmıştı. XIX. yüzyılda Gauss (1777-1855) ile Cauchy ( 1789- 1857 ) gibi matematikçiler bir yandan eleştirel tutum izlerken, öbür yandan yeni buluşlara yönelik atılımlar sergilemişlerdir. Gauss çalışmasının önemli bir bölümünü matematiği sağlam bir temele oturtma amacına yöneltmişti. Onun cebirin temel teoremi olarak bilinen karmaşık sayılar alanında her cebirsel denklemin bir kökü olduğu savını ispat uğraşı bu amaca yönelik önemli bir çalışmadır. O güne değin belisiz kalan karmaşık sayılar kavramı bile Gauss’un çalışmasında açıklık kazanır. Analizi gerçel sayılar alanından karmaşık sayılar alanına genişletme işini ise büyük ölçüde Cauchy’ye borçluyuz. Karmaşık bir değişkene ait karmaşık fonksiyonlar teorisini oluşturan Cauchy, sonsuz küçükler gibi ne olduğu açık olmayan kav ramları matematikten ayıklama çabasıyla analizde gerçek bir reforma yönelir. (Sonsuz küçükler giderek kaybolma yolunda -yani sıfıra yaklaşan- nesnel miktarlar olarak varsayılıyor, diferansiyel katsayı ve integrallerin bunlardan oluştuğu sanılıyordu. Oysa, bu kavram tam bir belirsizlik içindeydi.) Limit süreklilik gibi kavramlar ilk kez onun elinde açık ve belirgin anlamlarını kazanmıştır. Cauchy’nin limitler teorisi daha sonra Weierstrass’ın çalışmasıyla birleşerek sonsuz küçükler kavramını gerek-siz kılar. Bu gelişmeyle ortaya çıkan sonsuz sayılar ile süreklilik sorunlarını ise George Cantor ele alır. Cantor sonsuz bir dizi ya da kümeyi, kardinal sayısı herhangi bir alt-bölümünün kardinal sayısına denk olan küme diye tanımlar. Başka bir deyişle sonsuz bir kümedeki elemanlar ile, o kümenin bir alt-bölümüne ait elemanlar bire-bir eşleştirilebilir. Cantor, geliştirdiği sonsuz sayılar teorisinde farklı büyüklükte sonsuz dizi ya da kümelerin olduğunu gösterir. Analiz bugün bilinen kimliğine büyük ölçüde XIX. yüzyılın ikinci yarısında Karl Weierstrass(1815-1897)’ın çalışmasıyla ulaşır.
Üçünü Bunalım :
Euclides-dışı Geometriler İki bin yılı aşkın bir süre boyunca “biricik geometri” kimliğini koruyan Euclides geometrisinden farklı geometrilerin ortaya çıkışı kolayca sindirilebilir bir gelişme olamazdı. Kant’a göre geometrinin konusu uzay, temel özelliklerini aklımızın yapısına borçluydu; geometri önermeler bu nedenle zorunlu a priori doğrulardı. Başka bir deyişle, bir tek geometriye olanak vardı, o da Euclides geometrisiydi. Biri analizde, diğeri geometride ortaya çıkan bu iki tedirginlik, XIX. yüzyılı bir bunalım dönemine dönüştürmüştü. İlk kez bu dönemde birtakım belirsizlik, çelişki ve üstünkörülüklerle yüklü olduğu gözlenen matematiğin, aynı zamanda temelde bir bütün oluşturduğu bilinci uyanmıştır. Bunalımı aşma çaba ve arayışla-rının hemen hepsinde bu ortak bilincin etkisini bulmaktayız. Matematiğin pekiştirilmesine yönelik bu çabada “mantıksal” diyebileceğimiz bir yaklaşımdan da söze-debiliriz. Richard Dedekind(1831-1916)’in çalışmasında kendini gösteren bu yaklaşım, Peano, Frege ve Russell gibi mantıkçı-matematikçilerde daha belirgin bir karakter kazanır. Daha çok gerçel sayılara ilişkin teorik çalışmalarıyla tanınan Dedekind, diferansiyel ve integral hesapla-rı aritmetik bir temele oturtmaya yönelir. Mantıksal çözümlemeyi içeren bu temellendirme, Peano ile önemli bir dönüm noktasına ulaşır. Peano da Dedekind gibi, kavram ve yöntemlerde üstünkörülükten kurtulma, daha kesin ve belirgin olma çabasındaydı. Matematikte sağduyu ile sezgiye gereğinden fazla yer verilmesi tutumuna karşıydı. Soyut matematik, sağduyu ve sezgiye dayanan gelişigüzel bir çalışma olamazdı; tersine, kendi içinde yeterli, formel ya da mantıksal bir sistem olmalıydı. Frege, matematiğin mantıksal temellerini derinlemesine irdelemiş, aritmetiğe, geometrinin eriştiği düze-yin de ötesinde bir ispat bilimi kimliği kazandırmaya çalışmıştır. Matematik bir yandan daha sıkı bir mantıksal nitelik kazanırken öte yandan ona sağlam bir temel bulma çabaları yer almaya başlar. Yüzyılımızın başlarında büyük yoğunluk kazanan bu çabalar, önceki yüzyıllarda ulaşılan sonuçları daha belirgin, tutarlı ve kesin kılma-nın yanısıra, matematiksel düşünme yöntemine de bir açıklık getirir. Artık matematiğe bir yığın formül, teknik bilgi ve teorem ispatı içeren soyut bir çalışma olmanın ötesinde bir düşünme yöntemi gözüyle bakılmaya başlanır.
Dördüncü Bunalım :
Paradokslar
Yüzyılımızın başında patlak veren bu bunalım Cantor’un genel kümeler kuramına ilişkin paradokslardan kaynaklanır. Cantor oluşturduğu kümeler kuramında herhangi bir sonsuz sayıdan daima daha büyük sonsuz bir sayının olduğunu ispatlamıştı. Bertrand Russell (1872-1970)’ın 1901’de bulduğu paradoks doğrudan küme kavramından kaynaklanan bir paradokstu. Russell kümeleri kendi kendisine üye olup olmamasına göre ikiye ayırarak, paradoksunu oluşturur. Russell paradoksu, kümeler teorisinde matematik için sağlam bir temel bulunduğu düşüncesine bek-lenmeyen bir darbe indirir. Bugün bile doyurucu bir çözüme kavuştuğu söylenemeyen bu ve daha sonra ortaya çıkan benzeri para-doksların, değişik biçimlerde Antik dönemlerde ortaya atıldığını biliyoruz. Bunlardan yalancı paradoksu olarak bilineni en ünlüsüdür. Kendisi de Giritli olan Eğimenides (İ.Ö. 6. yy) Tüm Giritliler yalancıdır. demiş. İlk bakışta çelişki gibi görünen, yüzyıllar boyunca öyle sayılan bu önerme aslında tam bir paradoks içermemektedir. Gerçi önerme doğruysa, yani Giritlilerin hepsi gerçekten yalancıysa, Giritli olan Epimenides’in savı doğru olamaz; öyleyse söylediği yanlıştır; yani Giritlilerin hepsi yalancı değildir. Ama bu tüm Giritlilerin, bu arada Epimenides’in doğru söylediği demek değildir. Oysa çelişki içeren bir önerme ya da sav doğru sayıl-dığında yanlış, yanlış sayıldığında doğru çıkmalıdır. Nitekim bu nitelikte bir paradoksu, Epimenides’ten iki yüzyıl sonra gelen Eubulides’in şu önermesi sergilemektedir. Bu söylediğim yanlıştır. Gerçekten bu önermeyi doğru ise yanlış, yanlış ise doğru saymak gerekir. Epimenides de “Ben şimdi yalan söylüyorum” deseydi, söylediği tam bir paradoks oluştururdu. Paradokslardan kurtulma yolunda ortaya atılan çözüm önerileri içinde önemli sayılan iki tanesine deği-neceğiz. Bunlardan ilki; kümeler kuramını hiçbir kuşku ya da eleştiriye yer vermeyecek şekilde, iyice sınırlandı-rılmış aksiyomatik bir sistem kurmaktı. Bu yönde ilk girişim 1908’de Zermelo’dan gelir.Onu Fraenkel, Skolem, von Neumann ve Beryanes gibi araştırmacılar izler. Ne var ki, aksiyomatikleştirmenin yeterince etkili bir çözüm olmadığı, üstelik paradoksları çözmeye değil, önlemeye yönelik olduğu çok geçmeden görülür. İkinci öneri, paradoksları hem önlemeye hem de açıklamaya yönelik görünmektedir. Bilindiği gibi, bir kümeyi elemanları belirler. Elemanlardan herhangi birini kümeye başvurarak belirleme yoluna gittiğimizde, döngül bir tanımlamaya düşmüş oluruz. Buna göre, bir kümede, ancak o kümeye başvurularak tanımlanabilen elemana yer yoktur. Kuşkusuz bu kural küme kavramını sınırlayıcı niteliktedir. Ancak, Cantor’un genel küme kavramının yol açtığı paradoksları önlemek için böyle bir sınırlamayı göze almak kaçınılmaz görünmektedir. Paradokslar sorununa, çeşitli çaba ve çözüm önerilerine karşın henüz üzerinde herkesin birleştiği bir çözüm getirilememiştir. Sorunun matematikçilerle filozofları, sözcükleri kullanmada, önermeleri oluşturmada daha dikkatli ve titiz davranmaya itmekle birlikte, dikkatleri matematiğin temellerine yöneltmekte de son derece yararlı bir sonucu olduğu yadsınamaz. Matematikle empirik bilimlerin ilerlemesinde benzer ve farklı yanlar vardır. İki alanda da genellikle her atılım bir bunalımı izler. Ne var ki, bilim, hiç değilse kuramsal düzeyde, kümülatif değildir. Yeni teori, çözüm getirdiği bunalıma yol açan eski yerleşik teoriyle temelde bağdaşmaz niteliktedir. Matematikte ise ilerleme büyük ölçüde kümülatif niteliktedir. İrrasyonel sayılar rasyonel sayıların, sanal sayılar gerçel sayıların yadsın-masını gerektirmemiştir. Tam tersine, matematikteki her atılım, daha önce ulaşılmış olan birikime dayalı bir açılma, ya da genişleme demek olmuştur." Kaynak: http://www.pekiyi.com/matbunalimi.htm

Sayın Kenan Kablan'ın söyledikleri bana paradoksları hatırlattı:

"Paradoks (Kısır Döngü) Nedir?

Bir sorunun cevabına ne doğru ne de yanlış diyemiyorsak bir Paradoks ile karşı karşıyayız demektir. Nicolas Baurbaki bu konuda;

"Ünlü paradokslar, on yıllar bazen de yüzyıllar boyunca mantıksal düşünceyi beslemiştir."

"Bu sayfada yazılı olan hiçbir şeyi okumayın." gibi buna benzer paradokslar ya kendileriyle çelişiyor gibi görünür, anlamsız ya da şaşırtıcı sonuçlara varır; ya da kısır döngü biçimindedir.

Paradokslar yüzyıllar boyunca insanları büyülemiş ve hayrete düşürmüştür. Paradokslara, Edebiyat, bilim ve Matematik'ten günlük yaşama kadar çok değişik alanlarda rastlanır. Ne tür paradoks olursa olsun ortaya çıkan sorular ve karışıklık hem ilginç, hem de eğlendiricidir. Özellikle Matematiksel paradokslar yeni buluşlara yol açabilir.


Paradoks Örnekleri

Bazı bilinen paradokslardan örneklere bakalım:

1) İkiye Bölme Paradoksu: Bir yolcu, belirli bir uzaklığa gidecektir. Önce gideceği yolun yarısını; sonra kalan yarısını; sonra kalanının yarısını;... yürümek zorundadır. Bu durumda hiçbir zaman gideceği yolun sonuna ulaşamayacaktır.

2) Euqlides Paradoksu: "Yaptığım açıklama yanlıştır."

3) Avukat Paradoksu: Yunanlı ünlü avukat Protogras, verdiği özel dersin ücreti ile ilgili olarak öğrencisiyle bir anlaşma yapar. Bu anlaşmaya göre öğrencisi aldığı ilk davayı kazanırsa bu ücreti avukata ödeyecek, kazanamazsa ödemeyecektir.

Dersin bitiminden hemen sonra herhangi bir dava almayan öğrenciden ses seda çıkmaz. Sabrını yitiren avukat, bir dava açarak bu ücreti öğrencisinden talep eder. Yeni avukat olan öğrenci bu ilk davasında kendini savunmayı üstlenir.

Bu davayı öğrenci kazanırsa ilk davasını kazanmış olacağı için davayı kaybeden hocasına parayı ödemek zorunda kalacaktır.

Tersine davayı kaybederse bu kez de davayı kaybettiği için hocasına yine ödeme yapmak zorunda kalacaktır.

4) Epimenides Paradoksu: Epimenides Giritli idi. Ve paradoksu şöyleydi; "Bütün Giritliler yalancıdır".

5) Walt Kelley Paradoksu: "Düşmanla karşılaştık ve o biziz".

6) Berber Paradoksu: Bu paradoks 1918'de çıkmıştır. Bir köyde, bir berber, kendi traş olmayan herkesi traş eder. Berberi kim traş edecek?

7) Oscar Wilde Paradoksu: "Günah işlemenin tek yolu onu kabul etmektir".

8) Don Kişot Paradoksu: Sanço Panço, Baratania adasının yöneticisidir. Adaya gelenler niye geldiklerini belirtmek zorundadır. Eğer doğruyu söylerlerse serbest kalacaklar, yalan söylerlerse asılacaklardır. Günün birinde bir yolcu gelir ve "Ben asılmak için buradayım". der. Sanço ne yapmalı?

9) Sonsuzlukla ilgili Paradoks: Doğal sayılar kümesi ve Doğal sayıların karelerinin kümesi bir bir eşlenebilir. Bu kümelerin eleman sayıları nasıl birbirine eşit olabilir?

10) Russell Paradoksu: Bertrand Russell'ın paradoksu küme üyeliğine ilişkindir. Bir küme ya kendisinin bir üyesidir, ya da değildir. Kendisinin bir üyesi olmayan kümelere "düzenli" diyelim. Örneğin, "İnsanların kümesi"nin kendisi, bir insan olmadığı için, nkendisinin bir üyesi değildir. Kendisini içeren kümeleri "düzensiz" olarak adlandıralım. Örneğin "beş elemandan fazla elemanı olan kümelerin kümesi" düzenli midir yoksa düzensiz midir? Eğer düzenliyse; kendinin bir üyesi olamaz. Tüm düzenli kümeleri içerdiğine göre ve kendisinin de düzenli olduğunu kabul ettiğimiz için, kendisini içermelidir. Ama eğer kendisini içeriyorsa, tanıma göre düzensizdir. Düzenli olduğunu varsayıp, düzensiz olduğu çelişkili sonucuna vardık. Diğer taraftan, eğer düzensiz ise, kendisini elemanı olarak içerir. Ama elemanlarının sadece düzenli kümeler olduğunu biliyoruz. Demek ki düzensiz ise düzenli olduğu sonucu ortaya çıkıyor. Russell Paradoksu, Alman Matematikçi Gottlob Frege'e büyük bir darbe indirmiştir. Frege, bu paradoksu öğrendiğinde, aritmetiğin mantıksal gelişimi hakkındaki kitabının ikinci cildini yeni bitirmişti. II.cildin ek bölümü şöyle başlar: "Bir bilim insanı için en üzücü olay, yapıtı tam bitmişken temellerinin çökmesidir. Bertrand Russell'ın bana gönderdiği mektup sonucunda, bu duruma düştüm..." " Kaynak: http://www.bilist.8m.com/istatistik_dosyalar/para.htm

"Zeno paradoksları

Zeno'nun 1. paradoksu (dichotomy):

Bir nesnenin d yolunu alabilmesi için önce o yolun d/2'sini gitmesi gerekir. Ancak d/2'sini gitmeden önce d/4'ünü gitmesi gerekir. d/4'ünü gitmeden önce d/8'ini gitmesi gerekir vs. Bu dizi sonsuza kadar uzatılabilir. Öyleyse bir yolun tamamını gitmek sonsuz sayıda hamle ile mümkündür. O halde d uzunluğunda bir yol gidilemez.

Bu paradoksun fiziksel çözümü quantum fiziğinin belirsizlik ilkesini beklemek zorunda kalmıştır. Bir uzunluktan sonra, yarı yollardaki belirsizlik ihmal edilemeyecek kadar büyük olacaktır. Yarı yolun fiziksel bir anlamı olmayacaktır.

Matematiksel çözümü cebiri ve gibi sonsuz geometrik serilerin yakınsadığının kanıtlanmasını beklemiştir. Gittikçe kısalan yarı yolları almak için geçen zaman da git gide kısalmaktadır ve bunlar birbirini telafi eder. (Kanıta bakınız)

Zeno'nun 2. paradoksu (Achilles ve kaplumbağa paradoksu):

Kaplumbağa yarışa d1 kadar önden başlamış olsun. Aşil'in ona yetişebilmesi için önce d1 yolunu almış olması gerekir, ancak bu sırada kaplumbağa d2 kadar ilerlemiş olur. Aşil önce bu d2 yolunu almalıdır, ancak kaplumbağa d3 kadar uzaklaşmış olacaktır. Bu böylece devam ederse Aşil'in kaplumbağaya asla yetişemeyeceği anlaşılır. Ancak Aşil kaplumbağaya yetişir ve onu geçer. Paradoks.

Bu paradoksun çözümü de yukarıdaki gibidir.

Zeno'nun 3. paradoksu (ok paradoksu):

Uçuş halindeki bir ok herhangi bir anda anlık olarak durgun bir konumdadır. Ancak tam o anda aynı konumdaki hareketsiz sabit bir oktan ayırt edilemez; öyleyse okun hareketi nasıl algılanıyor?

Zeno'nun 4. paradoksu (Stade paradoksu):

Bu paradox zaman ve mekanın belli bir miktar bölünebileceği kabulünden doğar. (Tam metnini bulamadım, bilen var mı?)" KAynak: http://www.birey.com/avnia/dim/all/paradoks.htm

Araştırman için teşekkürler. Zevkle okuduk. Fakat imkan olsaydı da biraz daha özetleyebilseydin daha faydalı olurdu sanırım.

Einstein'ın uzayzaman yaklaşımı sorularının bir kısmına cevap verecek niteliktedir. Zaman ve mekan ile ilgili yukarıdaki yazının tam metni değil ama teorinin çok net bir dille aktarıldığı doyurucu bir yazı. Linkini vereyim: http://www.atominsan.com/uzayzaman.htm

Uzun zamandır,zamanın gerçek doğası, bir bilmecedir. Bilmece şudur: zaman, üzerinde olayların gerçekleştiği ,arkaplanda değişmeyen ve aşkın bir sahne olarak mı düşünülmelidir,yoksa yalnızca olayların kendisi olarak mı? Bu ikinci durumda olay olmadığında,zaman da olmayacaktır. Bu ayırım bizim için önemlidir,çünkü ilkvarsayım bizi ,evrenin zaman içinde yaratılması hakkında konuşmaya yönlendiriyor. Bunun alternatifi ise, zamanı evrenle birlikte varolan bir şey olarak düşünmektir. Evrenin başlangıcının “öncesi” yoktu, çünkü bir zamanlar , zaman yoktu.

John D.Barrow

İlgi duyup öğrenmek isteyenler yukarıdaki linkten konu hakkında yeterli bilgi aldıktan sonra bu linki takip edebilirler

Kuranda zamanın izafiliği: http://www.mucizeler.com/bolumler/12_1400yilonce.htm

İlginizi Çekebilir: ~ Kaos I ~

kaos her yerde, her şeydedir..



“Bu benim belki de yıllardır yaptığım en güzel şey... Tuhaf ve uçsuz bucaksız bir derinlikle bağ kurmuş olduğumu hissediyorum. Burada gördüğüm çeşitlilik, iyi niyet ve gelişim için duyulan istek inanılmaz..." Devamı


Daha önce bütünün parça ile ilişkisinden, kendi iç dengesinden bahsetmiştik. Daha önce insan aklının varlığı ile oluşturduğu çelişkiden, limitlerinden ve ulaşabileceklerinden bahsetmiştik. İnsan evren içinde bir nokta, ve algıları da evrenini ve dünyasını gerçekte olduğu gibi algılayamayacak kadar sınırlı. Richard Dawkins (*Dawkins,1986) insanın avlayıcılık, toplayıcılık ve üreme becerileriyle nihai amacı hayatta kalma ve çoğalma olan, en fazla yüz yıllık bir zaman dilimini algılama kapasitesini kullanan, çoğunlukla bu kısa zaman vadesi sınırlılığında düşünmeye yatkın bir varlık olduğunu anlatıyor.

İkiliklerin neden var olduğu sorusuna cevap uzun zaman önce verildi. Onlar var olabilmek ve zıtlıkların oluşturduğu bütüne ulaşabilmek için birbirine muhtaçtı. Cevap halen geçerliliğini koruyor, fakat bütünün yalnızca iki kanatlı olmadığını; elektron ve protondan daha küçük yapı taşları olan kuarklara bağlandığını da biliyoruz. Einstein’in rölativite teorisine göre uzay zamanın herhangi bir noktası kesinlik taşıyor olabilseydi, buna göre geleceğin ve geçmişin de değiştirilemeyecek şekilde belirlenmiş olduğu kabul edilebilirdi. Matematik tablolarında gelecek ve geçmişin simetrik olduğu düşüncesi kabul görmüştü. Ancak hiçbir nokta kesinlik taşıyamaz, gözlemcinin nerede nasıl durduğuna göre noktanın tavrı değişebilir.

Görünmeyen, bir ağırlığı ya da uzunluğu olmayan şeyler de varlığını sürdürür;

George Cantor, on dokuzuncu yüzyılda yaşayan bir bilim adamıdır. Bir doğru üzerinde var olan sınırsız sayıdaki nokta fikri onu büyülüyordu. Cantor bu noktalardan başka bir şeyin var olup olmadığını merak etti. Başlangıç noktasından belli bir oran uzaklığındaki noktalar alındığında ve bu işlem sürdürüldüğünde ne olacağını merak etti. Cantor klasik fraktalların bazı şeylerin geri alınmasıyla oluştuğunu fark etti. Onun operasyonu noktaların tozcuklarını yarattı, bu yüzden adları Cantor tozları olmuştur.





Cantor tozunu anlamak için bir doğru ile başlayın, doğruyu üç eşit bölüme ayırın ve ortadaki bölümü çıkarın; geriye birbirinden ayrı iki doğru kalacaktır. Bu doğruları da aynı şekilde üç bölüme ayırın ve devam edin.

Cantor seti kalan noktaların tozlarıdır. Bu noktaların sayısı sonsuzdur, ancak toplam uzunlukları sıfırdır. Sonraları Yale Üniversitesi Profesörü Mandelbrot, Cantor setinin elektronik iletişim hattında meydana gelen sayısız hataların bir modelini verdiğini gördü. Bu sayede mühendisler hatasız trans-iletişimi keşfetti. Ufak ölçeklerde yaptıkları analizlerde hatasız periyodları keşfettiler.

‘Fraktallar gerçek hayatlarla ilgili ne yapabilirler?’, ‘Bu büyüleyici imajların arkasında gerçek bir amaç mı var?’

Şaşırtıcı ama cevap evettir. Art Matrix’de bilgisayar mühendisi olan Homer Smith ‘Fraktalları seviyorsunuz, çünkü onlardan oluşuyorsunuz. Fraktallarsız olamazsınız, çünkü kendiniz olmadan yapamazsınız' diyerek onlara olan hayranlığını belirtiyor.. Fraktallar bizlerle birlikte biyolojik dünyanın büyük bölümünü de kaplıyor. Bulutlar, kanallar, damarlar, sinirler ve bronşlar ağaç fraktal organizasyonun çeşitlerini oluşturur. Ağaçlarda, kıyılarda fraktalları seyrederiz. Kan dolaşımının bölgesel dağılımında, proteinlerin yüzeylerinde ve arthropod beden uzuvlarının dağılımında gözlemlenebilirler.

Değişen sayı + sabit sayı = sonuç

Lorenz kompleks, dinamik sistemlerin düzen gösterdiğini, fakat asla tekrar etmediğini ispatladı. Dünyamız dinamik ve kompleks bir sistem olarak sınıflandırılır, hayatlarımız, havamız, deneyimlerimiz tekrar etmezler; fakat paternler oluştururlar.




Koch Snowflake iyi bilinen, basit bir fraktal imajdır; mükemmelliği sembolize eder.



Fraktalların içerdiği kavramları anlamak ve kavramak, biyolojik anlayışta bir dönüm noktası. Fraktallar kaos teorisinin şüphesiz en ilginç dallarından biri.

Kaynak: www.duke.edu Kaynak: www.meditativedance.com/kaos1.htm" rel="nofollow" target="_blank">http://www.meditativedance.com/kaos1.htm

"Büyük Sayılar


George Gamov
1. KAÇA KADAR SAYABİLİRSİNİZ?

En büyük sayıyı söyleyebilenin kazanacağı bir oyun oynamaya karar veren iki Macar soylusuyla ilgili bir öykü vardır.

Biri "Pekâlâ, önce sen sayını söyle" der.

İkinci soylu, birkaç dakika sonra, sıkı bir zihinsel çalışma sonunda düşünebildiği en büyük sayıyı söyler, "Üç".

Şimdi düşünme sırası birinciye gelmiştir ama o, bir çeyrek saat kadar düşündükten sonra bırakır.

"Pekâlâ, sen kazandın" der.

Kuşkusuz, bu iki Macar soylu, yüksek bir akıl düzeyini temsil etmemektedir (2) belki de bu öykü bilerek uydurulmuş bir karalamadır. Ama böyle bir konuşma, bunlar Macar değil de Hotantolu olsalardı gerçekten olabilirdi. Afrika'yı bulanların yetkiyle bildirdiklerine göre, birçok Hotanto kabilesinin sözlüğünde üçten büyük sayıların adları yoktur. Ora yerlilerinden birine kaç oğlu olduğunu ya da kaç düşmanını öldürdüğünü sorun, sayıları üçten çoksa yanıtı "birçok" olacaktır. Öyleyse, Hotantolar ülkesinde vahşi bir savaşçı sayı sayma konusunda, ana okulu yaşında ve daha ona kadar sayabilen bir Amerikalı çocukla başa çıkamayacaktır.

Bugün bizler, büyük sayıları ister savaş giderlerini kuruş cinsinden, isterse yıldız uzaklıklarını santimetre cinsinden göstermek için olsun bir rakamın sağına yeteri kadar sıfır ko**** yazabileceğimiz fikrine alışmışızdır. Elimiz yoruluncaya kadar sıfır koymayı sürdürebilir ve bilmeden evrendeki atomların sayısından, (3) 300,000,000,000,000, 000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 ,000,000,000, da büyük bir sayı elde edebiliriz.

Ya da bunu kısaca 3.l074 biçiminde yazabiliriz.

Burada, 10'un sağ üstünde bulunan küçük 74 sayısı 3'ün sağına bu kadar sıfır yazılacağını ya da 3'ün 74 kez 10 ile çarpılacağını gösterir.

Ama bu aritmetik kolaylık, yüzyıllar önce bilinmiyordu. Gerçekten, bu yöntem, iki bin yıl kadar bir zaman önce, adı bilinmeyen Hint'li bir matematikçi tarafından bulunmuştur. Bu buluştan önce (biz ayrımsayamıyor olsak da bu büyük bir buluştur) sayılar, şimdi ondalık birim dediğimiz, her bir basamak için ayrı bir işaret kullanarak ve bu basamaktaki birimleri bildirmek için o basamak işaretini gerektiği kadar yineleyerek yazılırdı. Örneğin 8732 sayısını eski Mısırlılar şöyle yazarlardı:



Oysa Sezar'ın sarayında bir sayman aynı sayıyı M M M M M M M M D C C X X X I I biçiminde yazacaktı.

Görkemli anıt plakalarında, olay tarihini gösteren Romen rakamları bulunduğuna ve kimi kitapların ciltleri ya da bölümleri hâlâ bu rakamlarla gösterildiğine göre, ikinci yazış biçimi size pek de yabancı gelmeyecektir. Eski insanların sayma gereksinimleri birkaç bini aşmadığından, o zamanlarda daha büyük ondalık basamaklar için özel işaretler bulunmuyordu. Eski Romalı, en iyi biçimde matematik eğitimi almış olsa da, bir milyon yazmaya zorlandığında, bu isteği yerine getirebilmek için yapacağı en iyi şey, birkaç saatlik yorucu bir iş olmasına karşın, bin tane "M" harfini sırayla yazmak olacaktı (Şekil 1).



Augustus Caesar (Sezar)'a benzeyen bir eski Romalı, Romen rakamlarıyla "bir milyon" yazmaya çalışıyor. Duvar tablasındaki elverişli alan ancak "yüz bin" yazmaya yeterli


Bu yüzyıllarda yaşayanlar için gökteki yıldızların, denizdeki balıkların ya da sahildeki kumların sayısı gibi büyük sayılar "sayılamaz"dı, Hotantolunun "beş" için dediği gibi sadece "çok"tu!

İ.Ö. üçüncü yüzyılın ünlü bilgini Archimedes (Arşimet) üstün zekâsıyla, gerçekten büyük sayıların yazılabileceğini gösterdi. The Psammites (Kumtaşları) ya da Sand Reckoner (Kum Sayıcı) adlı bilimsel kitapçığında Arşimet şöyle diyor:

"Kum taneciklerinin çokluk bakımından sonsuz olduğunu düşünenler vardır; ve ben kum derken yalnızca Siraküza ve Sicilya'nın öteki kısımlarındaki kum tanelerini değil yeryüzünde, üzerinde oturulsun ya da oturulmasın bütün ülkelerde bulunabilecek kum tanelerini anlıyorum.Yine kimi kişiler sayıların sonsuzluğunu dikkate alma**** bütün yeryüzündeki kum tanelerinin sayısını bildirecek büyüklükte bir sayının söylenemeyeceğini düşünürler. Bu görüşte olanlara göre, dünyanın bütün çukurlarım, denizlerini dolduran en yüksek dağların tepelerine kadar yükselebilen ve yeryüzünün bütün kütlesini karşılayan büyüklükte bir kum kütlesindeki tanelerin sayısı düşünülürse bunu karşılayacak bir sayının olmayacağı daha iyi anlaşılır. Ama, size şimdi söyleyeceğim ve adlandıracağım sayının, yukarıda belirtildiği gibi yalnız dünyanın kütlesini karşılayan miktarda değil, bütün evrenin kütlesine bile eşit olabileceğini göstermeye çalışacağım."

Arşimet'in bu ünlü çalışmada öne sürdüğü çok büyük sayıları yazma yöntemi, modern bilimdeki çok büyük sayıları yazma yöntemine benziyor. O, eski Yunan aritmetiğinde bulunan en büyük sayıyla başlıyor: bir "myriad" ya da on bin. Sonra yeni bir sayı tanıtıyor, "myriad myriad" (yüz milyon) ve buna "octade" (bir sekizlik) ya da "ikinci sınıf birim" diyor. "Sekizlik kere sekizlik"i (on milyon kere milyar) "üçüncü sınıf birim", "sekizlik kere sekizlik kere sekizlik"! "dördüncü sınıf birim" v.b. olarak adlandırıyor.

Büyük sayıların yazılması, birkaç kitap sayfasının bu işe ayırılması gibi önemsiz bir olay olarak görünürse de Arşimet zamanında büyük bir sayıyı yazma yöntemini bulmak gerçekten büyük bir buluş ve matematikte ileriye atılmış önemli bir adımdı.

Bütün evreni dolduracak kum tanelerinin sayısını bulabilmek için, Arşimet'in evrenin büyüklüğünü bilmesi gerekliydi. O'nun zamanında, evrenin, üzerine sabit yıldızlar asılmış kristal bir küreyle örtülü olduğuna inanılırdı ve ünlü çağdaşı gökbilimci Sisam'lı Aristarkhos da bu gök kubbenin yüzeyine kadar olan uzaklığı, 10,000,000,000 "Stadia" (4) ya da yaklaşık 1,000,000,000 mil tahmin ediyordu. Bu kürenin büyüklüğünü bir kum tanesiyle karşılaştıran Arşimet, bir orta okul öğrencisine karabasanlar gördürecek birtakım hesaplar yaparak şu sonuca vardı: "Aristarchus'un tahmin ettiği büyüklükteki göksel bir küreyi dolduracak kum tanelerinin sayısı, bin myriad kere sekizinci sınıf biriminden daha büyük değildir." (5) Ne var ki burada, Arşimet'in tahmininde kullandığı evren yarıçapının modern bilginlerin tahminlerinden oldukça az olduğuna dikkat edilmelidir. Bir milyar millik uzaklık ancak, güneş sistemimizin bir gezegeni Satürn'ün biraz ötesine ulaşabilir. Daha sonra göreceğimiz gibi, bugün teleskoplarla görülebilen evren uzaklığı 5,000,000,000,000,000,000,000 mil kadar olup bu büyüklükteki evren küresini doldurabilecek kum tanelerinin sayısı, şundan büyük olurdu:

10100 (yani birin sağında yüz sıfır)

Bu sayı, gerçekten, bu bölümün başında evrende bulunan atomların sayısı olarak bildirilen 3.1074 sayısından çok büyüktür. Ancak, şunu unutmamamız gerekir: Evren atom tanecikleriyle sıkıştırılmış değildir ve aslında uzayın her metre küpüne ortalama olarak yalnızca bir atom düşer.

Ne var ki, oldukça büyük sayılar elde etmek için bütün evreni kum tanecikleriyle doldurmaya hiç gerek yoktur. Kimi kez ilk bakışta çok yalıngibi görünen ve sonucunda birkaç binden çok olmayan bir sayıya erişeceğimizi sandığımız bir problemde, bu büyük sayılar sık sık görülür.



Usta matematikçi, Sadrazam Sissa Ben Dahir Hint Mihracesi Shirham'dan ödülünü istiyor.


Bu şaşırtıcı sayıların bir kurbanı da, eski bir öyküye göre, satranç oyununu bulan sadrazamı Sissa Ben Dahir'i ödüllendirmek isteyen Hint mihracesi Shirham'dır. Akıllı sadrazamın isteği çok alçak gönüllü gözükmektedir. Mihracenin önünde diz çökerek "Majesteleri, bu satranç tahtasının ilk karesine l, ikincisine 2, üçüncüsüne 4, dördüncüsüne 8 tane buğday koysalar ve her bir kareye bir öncekinin iki katı buğday ko**** 64 kareyi dbldursalar yeter" der.

Bir yandan için için, mucize denebilecek türden bir oyunu ilk bulan kişiye yaptığı eli açık bağışın hazinesine pek pahalıya gelmeyeceğini düşünerek sevinen mihrace, sadrazamına, "isteğin şüphesiz yerine getirilecek. Ancak çok küçük bir istekte bulunuyorsun sadık vezirim," der. Ve huzura bir çuval buğday getirilmesini buyurur.

Birinci kareye 1, ikinciye 2, üçüncüye 4, dördüncüye 8 buğday tanesi ko**** sayma işi başladığında daha yirminci kareye gelmeden bir çuval bitiverir.

Sayım işi ilerledikçe mihracenin huzuruna daha çok sayıda çuvallar gelmeye başlar, ama her an sırada bulunan kareye konulması gereken buğday tanesi sayısı bir öncekine göre öyle artar ki, sonunda mihrace Hindistan'ın bütün buğdayının Sissa Ben Dahir'e söz verdiği kadarına yetmeyeceğini anlar. Sözünü yerine getirmek için 18,446,744,073,709,551,615 (6) tane buğday gerekmektedir.

Bu, evrendeki atomların sayısı kadar olmasa da, herhalde yine de oldukça büyük bir sayıdır. Bir kile buğdayda 5,000,000 tane olduğu varsayılsa Sissa Ben Dahir'in istediği buğday miktarı yaklaşık 4000 milyar kileyi bulmaktadır. Ortalama buğday ürünü bütün dünyada yılda 2,000,000,000 kile olduğuna göre sadrazamın isteği dünyanın yaklaşık iki bin yıllık buğday ürünüdür. Bu nedenle Mihrace Shirham ya vezirinin bu ardı arkası gelmeyen isteğiyle sürekli karşı karşıya kalmayı ya da onun başını uçurmayı yeğleyecektir. Korkarız ki o, bu iki seçenekten ikincisini seçer.

"Dünyanın Sonu" sorununa ilişkin bir Hint öyküsünde de yine büyük bir sayı önemli rol oynar. Matematik tarihçisi W.W.R. Ball (7) öyküyü aşağıdaki gibi anlatıyor:

Benares'teki büyük tapınakta dünyanın ortasını belirten kubbenin altında, üzerinde her biri bir kübit (bir kübit,yaklaşık 50 santimetre) yükseklikte ve kalınlığı bir arı gövdesi kadar olan üç elmas çubuğu taşıyan pirinç bir levha vardır. Bu çubuklardan birine dünyanın yaradılışı sırasında Tanrı, aşağıdan yukarıya doğru küçülen, en büyüğü en altta, en küçüğü en üstte bulunan som altından 64 disk koymuştur. Bu Brahma kulesidir. Gece gündüz bir nöbetçi rahip, durup dinlenmeden, Brahma tarafından konulan bir yasaya göre, her defasında yalnız bir diski hareket ettirerek ve hiçbir zaman küçük bir disk büyük bir diskin altına gelmeyecek biçimde, diskleri çubuktan çubuğa geçirmektedir, böyle sürdürerek 64 diskin tamamı Tanrının yaradılış günü koyduğu çubuktan başka bir çubuğa geçirilince, kule, toprak ve Brahmanlar toza dönüşecek ve bir gök gürültüsüyle dünya yok olacaktır.

Alttaki resim, disk eksiğiyle, öyküde anlatılan düzeni gösteriyor. Bu bilmeceli oyunu Hint masalındaki altın diskler yerine mukavvadan kesilmiş diskler ve elmas çubuklar yerine çiviler kullanarak siz de yapabilirsiniz. Disklerin hangi kurala göre hareket ettirileceğini bulmak zor değildir. Bunu bulursanız göreceksiniz ki her bir diskin yerinden alınması için bir öncekinin gerektirdiği hareket sayısının iki katı kadar hareket yapmak gerekir. İlk diskin yerinden alınması için sadece bir hareket gerekirse de bundan sonrakiler geometrik olarak artmaktadır. Böylece 64 diskin yerinden oynatılması için Sissa Ben Dahir'in istediği buğday sayısı kadar hareket yapmak gerekir.(8)



Dev bir Brahma yontusu önünde "Dünyanın Sonu" problemi üzerinde çalışan bir papaz. 64 disk çizmek çok güç olduğu için şekildeki altın diskler daha azdır.


Bu Brahma kulesinin 64 diskinin hepsini bir çubuktan ötekine geçirmek ne kadar sürer? Papazın bayram, tatil demeden gece gündüz çalıştığını ve saniyede bir hareket yaptığını varsayalım. Bir yılda yuvarlak hesap 31,558,000 saniye olduğuna göre, bu işin bitirilmesi en azından elli sekiz bin milyar yıl sürecektir.

Modern bilimin, evrenin ömrüne ilişkin tahmini ile bu bütünüyle olağanüstü önbilinin (kehanet) karşılaştırılması çok ilgi çekicidir. Evrenin gelişimi hakkındaki modern kuramlara göre, yıldızlar, güneş ve dünyamız da içinde olmak üzere gezegenler bundan yaklaşık 3,000,000,000 yıl önce şekilsiz bir kütleden oluşmuştur. Yıldızlara ve özellikle güneşe enerjilerini veren "Atomik yakıt'ın 10,000,000,000 ya da 15,000,000,000 yıl daha sürebileceğini biliyoruz. (Yaradılış Günleri bölümüne bakın.) Öyleyse evrenin toplu yaşam süresi 20,000,000,000 yıl olabilir, bu, Hint söylencesindeki 58,000 milyar yıla göre çok kısadır! Ama, ne de olsa o sadece bir söylencedir!

Şimdiye kadar literatüre geçmiş en büyük sayı, büyük bir olasılıkla "Basılı Satır Problemi"ndedir. Sürekli olarak ardı ardına bir tek satır basan ve otomatik olarak her defasında abecenin harfleriyle öteki yazım imlerini çeşitli biçimlerde dizebilen bir baskı makinesi yaptığımızı varsayalım. Bu makine, dış çevresi üzerinde abece harfleriyle yazım imlerinin bulunduğu çeşitli disklerden oluşma bir silindir olacaktır. Bu diskler birbirlerine, arabanızın kilometre göstergesinde olduğu gibi, biri tam bir devir yaptığı anda ötekinin bir basamak ilerleyeceği bir dişli düzeneği ile bağlanmış olsun. Kâğıt bobininden gelen kâğıt da her bir harekette bu silindir üzerine bastırılsın. Yapımı pek de zor olmayan böyle otomatik bir baskı makinesi aşağıdaki şekilde çizimsel olarak gösterilmiştir.



Shakespeare'in bir dizesini tam doğru olarak basan otomatik bir baskı makinesi.




Makineyi harekete geçirip baskıdan gelen farklı basılı satırlar sonsuz dizisini inceleyelim. Bunların çoğu hiçbir anlama gelmeyen

"aaaaaaaaaaa..." yada

"boobooboobooboo..." yada

"zawkporpkosscilm.."

biçimlerinde olacaktır.

Ama makine, harfler ve yazım imleriyle olası her bir dizi şeklini yapabileceğinden bu anlamsız cümleler arasında anlamları olan ama kullanılmayan

"Atın altı ayağı vardır ve..."

yada

"Neft yağında kızartılmış elmayı severim."

gibi yararsız cümleler olacaktır. Bu cümleler arasında yapılacak sıkı bir araştırma, Shakespeare tarafından yazılıp da kâğıt sepetine atılmış cümleleri de ortaya çıkaracaktır.

Gerçekte böyle bir otomatik baskı makinesi, insanlar yazmayı öğrendiğinden beri yazılan her şeyi, bu güne kadar yazılmış uyaklı ya da düzyazı her satırı, gazetelerdeki her makale ya da ilanı, en ağır bilimsel kitapçığı, her aşk mektubunu ya da sütçüye yazılmış herhangi bir notu yazmış olabilecektir.

Bundan başka bu makine gelecek yüzyıllarda yazılabilecek her şeyi de yazmış olacaktır. Bu makinenin dönen silindirlerinden çıkan kâğıtta otuzuncu yüzyılın şiirlerini, geleceğin bilimsel buluşlarını, Amerika Birleşik Devletleri'nin 500. kongresinde verilecek söylevi ve 2344 yılında gezegenler arası yolculuklardaki trafik kazaları sayılarını bulabileceğiz

Bunlar arasında şimdiye kadar insan eliyle yazılmış sayfa sayfa kısa
öyküler, uzun romanlar bulunabilecek ve basımevlerinde böyle bir
makinesi bulunan yayımcılar, simdi de yaptıkları gibi, bir yığın süprüntü
içinden bir araştırma yaparak iyilerini seçeceklerdir.

İngiliz abecesinde yirmi altısı harf, onu rakam (0,1,2,...,9) ve on dördü yazım imlerinden (noktalı çizgi, nokta, virgül, iki nokta, noktalı virgül, soru imi, ünlem, tire, birleştirme çizgisi, tırnak imi, kesme imi, ayraç, köşeli ayraç, büyük ayraç) oluşan toplam 50 im vardır. Ortalama bir baskı satırında 65 harf bulunabileceğine göre bu makinede 65 disk olduğunu kabul edelim. Makinede basılan bir satır yazı, bu 50 imden herhangi biri ile başlayabileceğine göre 50 çeşit olanak vardır. Bu 50 olanağa karşılık, ikinci sırada da 50 farklı olanak bulunduğu için toplu olarak 50 X 50 = 2500 çeşit olasılık ortaya çıkar. Şimdi bu ikili diziye karşılık, üçüncü sırada da 50 çeşit olanak bulunur ve böylece sürer gider. Bu yolla hesaplanarak bir satırın gerçekleşebilecek çeşitli biçimleri şöyle anlatılabilir:

65 tane

50x50x50x50.... x 50




Yada 5065 olup bu da 10110'a eşittir.

Bu sayının büyüklüğünü duyumsayabilmek için evrendeki bütün atomların herbirinin bir baskı makinesi olduğunu böylece aynı anda 3.1074 baskı makinemizin çalıştığını varsayalım. Dahası bu makinelerin, evrenin yaradılışından beri, yani 3 milyar yıl ya da 1017saniyedir, sürekli olarak çalıştığını ve saniyede atom titreşimleri sayısı olan 1015 satırı basabildiğini düşünelim. Böylece bu makineler şimdiye kadar

3.1074x1017x1015 = 3.10106

satır basmış olurlardı ki bu, aranan sayının yüzde birinin otuzda biri kadardır.

Ama böyle otomatik olarak basılmış gereçten herhangi bir seçme yapmak çok, olağanüstü çok zaman isteyecektir.

2.SONSUZLAR NASIL HESAPLANIR

Bundan önceki kısımda incelediğimiz sayıların birçoğu oldukça büyük sayılardı. Sissa Ben'in istediği buğday taneleri sayısı da inanılamayacak kadar büyüktüyse de bu belirli (sonlu) olup, yeterli zaman verilirse son ondalığına kadar yazılabilir.

Ama kimi sayılar, ne denli çalışırsak çalışalım, yazabileceğimiz sayıdan daha büyük olup gerçekten sonsuzdurlar. "Bütün sayıları içine alan sayı" açıktan açığa sonsuzdur ve "bir doğru üzerinde bulunan geometrik noktalar" öyledir. Bunlar için sonsuz demekten başka söylenecek bir şey var mıdır? Ya da böyle iki ayrı sonsuzun hangisi "daha büyük" diye kıyaslama yapılabilir mi?

"Bütün sayıları içine alan sayı bir doğru üzerindeki noktaların sayısından daha mı büyük daha mı küçük?" diye sormanın bir anlamı var mı? îlk bakışta olağanüstü gibi görünen bunun gibi sorular ilk olarak "sonsuzluk aritmetiği"'nin kurucusu diye adlandırılabilecek ünlü matematikçi Georg Cantor tarafından ele alınmıştır. Daha büyük ve daha küçük sonsuzlardan söz etmek istersek, adlandıramadığımız ya da yazamadığımız sayıları birbiriyle karşılaştırma sorunuyla karşılaşır ya da hazinesinde bakır paralarının mı yoksa boncuklarının mı daha çok olduğunu araştıran Hotantoluya benzer duruma düşeriz.

Anımsayacağınız gibi, Hotantolu üçten çok sayı sayamamaktadır. Bu Hotantolu sayı sayamadığı için hazinesindeki boncuklarla bakır paralardan hangisinin çok olduğunu öğrenmekten vaz mı geçsin? Hiç de değil. Eğer yeterince akıllıysa, bakır paralarla boncukları birer birer karşılaştırmakla yanıtı bulacaktır. Bir boncuğun yanına bir bakır para, ötekinin yanına yine bir tane ve böyle sürdürerek, elinde bakır paralar kalıp ta boncuklar biterse bakırların çok olduğunu, bakır paralar bitip de elinde boncuklar kalırsa boncukların çok olduğunu, ikisi de aynı zamanda biterse bakırlarla boncukların aynı sayıda olduklarını bilecektir.

Aynı yöntem, Cantor tarafından iki sonsuzu karşılaştırmak için ileri sürülmüştür. İki sonsuz grubun nesneleri arasında, bir sonsuz grubun her nesnesi öteki sonsuz grubun her nesnesiyle karşı karşıya gelmek üzere çiftler yapılır da her iki grupta açıkta kalmış nesne kalmazsa bu iki sonsuz eşittir. Böyle bir düzenleme olanaksızsa ve gruplardan birinde açıkta kalmış nesneler kalıyorsa o zaman bu gruptaki nesnelerin sonsuzu öteki gruptaki nesnelerin sonsuzundan daha büyük ya da daha güçlüdür deriz.

Bu örnek, sonsuz iki miktarı karşılaştırabilmek için, açık olarak en akla yakın ve gerçekten ancak olanaklı yöntemdir. Ama bunu uygulamaya başladığımız anda önümüze çıkacak kimi şaşırtıcı şeylere de hazırlıklı olmalıyız. Örnek olarak, tek sayılarla çift sayıların sonsuzlarını ele alalım. Olağan durumda sezginizle hemen çift sayıların sayısı kadar tek sayı olduğunu ve bunların yukarıdaki kurala göre şöyle dizilebileceğini sezersiniz:



1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
v.b.

|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|

2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
v.b.




Bu tabloda her tek sayıya karşı bir çift sayı ve tersi vardır: bu nedenle tek sayılar sonsuzu çift sayılar sonsuzuna eşittir. Kolay ve doğal gözüküyor gerçekten! Ama bir dakika. Hangisinin daha büyük olduğunu düşünüyorsunuz: hem çift hem de tek bütün sayıları içine alan sonsuzun mu yoksa yalnız çift sayıları içine alan sonsuzun mu? Kuşkusuz tek ve çift bütün sayıları içine alan sayı ötekinden daha büyüktür diyeceksiniz. Ne var ki bu yalnızca bir izlenimdir ve doğru yanıtı elde edebilmek için, yukarıdaki kuralı uyguladığınızda izleniminizin yanlış olduğunu şaşırarak göreceksiniz. İşte, aşağıdaki tabloda bütün sayılar bir yanda onlara karşı gelen çift sayılar da karşılarında dizilmiştir:



1
2
3
4
5
6
7
8

|
|
|
|
|
|
|
|

2
4
6
8
10
12
14
16





Sonsuzların karşılaştırılması kuralına göre, çift sayılar sonsuzu, bütün sayılar sonsuzu kadardır dememiz gerekir. Çift sayılar, bütün sayıların yalnız bir bölümünü gösterdiğine göre, doğal olarak mantığa biraz aykırı gelmektedir. Ama burada sonsuz sayılarla işlem yaptığımızı anımsayıp, onların farklı özelliklerini dikkate almalıyız."
Kaynak:1-2-3 Sonsuz isimli kitabından alınmıştır. Kaynak: http://www.bilimkurgu2000.com/Bilimsel/BY4.asp

Bu arada Sayın Kenan Kablan'ın zaman hakkındaki yorumu için teşekkürler.
Zaman gerçekten ilginç bir mesele.
Einstein teorisinden zamanda ileriye gitmenin en azından teorik olarak mümkün olduğunu biliyoruz peki geriye gitmek mümkün mü, sanırım can alıcı ve zor bir soru.

Arkadaşlar Merhaba...

Bir önerim olarak, dikkate alabilirseniz sevinirim....gönderdiğiniz yazıların uzunluğu çok fazla...dikkatle okumak istiyorum ancak ardı ardına gönderilence böyle bilimsel şeyleri tam olarak irdeleyemiyorum...sizden ricam bölümleyerek göndermeniz. Böylelikle eminim daha verimli olacaktır...

Önerimi kabul ederseniz sevinirim...

mim agbi.

size bilyi icin ulasmak istiyoruz.özel mesca ,meyile cevap vermediniz. burda soru sorsam, bilgi verirsin?

Zamanda geriye gitmek mümkün mü?

Bu konuda bildiğim kadarıyla şöyle bir yaklaşım mevcut;

Şu anda çok uzak galaksilerdeki bazı yıldızların doğuşlarını veya yok oluşlarını izliyoruz. Fakat bilinen şu ki yıldız bizden ne kadar uzaksa aslında biz o yıldızın o kadar geçmişini görüyoruz. Yani bizden 1 milyon ışıkyılı uzaktaki bir yıldızın 1 milyon yıl önceki görüntülerine izliyoruz gerçekte. Biz şu anda o yıldızın söndüğünü veya dönüştüğünü söylerken aslında izlediğimiz olay 1 milyon yıl önce olmuş oluyor. Bir anlamda biz o yıldızın 1 milyon yıl öncesi zamanına gitmiş oluyoruz.

Eğer ışıktan daha hızlı hareket edip bu hızla dünyadan uzaklaşabilseydik uzaklaştığımız miktarda dünyanın geçmişine gidebilirdik düşüncesi savunuluyor.

Madde olarak bu hıza ulaşılabilir mi? ulaşılırsa ne olur?
Astral seyahat vs. gibi iddialar düşünce hızının bilinen tüm hızlardan daha yüksek olduğunu bunun ancak astral beden ile yapılabileceği gibi fikirler içeriyor. Bu noktadan sonra teorik fizik sanki metafiziğe dönüşüyor gibi.

Bu tip sorulara cevap ararken matematiğin yegane araç olması gerektiğine inanıyorum.

Selamlar.

Bazı arkadaşlar dünya meselelerıne değinip gerçekliğe davet ediyor bazı kadın erkek ilişkilerinden dem vuranları. Ancak insan ilişkilerindeki açmazlar değilmidir hepside?
İnsanın 'benim gibi düşünmedi öyleyse kahrolsun ya da ben kahrolayım'tripleri.

Olay basit kafa sayısı kadar düşünce çeşidi.

Tek yapabileceğin kendinde de dahil tek bir doğrunun olmadığını kabul edip değişime olabiliyorsa gelişime açık olabilmek.Kendine acımamak ve hala insan denen olguyu sevmeye devam etmek, algının dolayısıyla yargının durağan olmadığını kabul edip acınası olmamak.

Yaşamda köşeler yok o da dünya gibi yuvarlak ve döngüde. Hepimiz aynıyız ancak tutturamadığımız denk gelmeyen eşref ve eşşek saatlerimiz.

Bu nedenle insan kendine yol arkadaşı bulamaz ancak yoluna çıkanlarla zamanı olabildiğince paylaşır.
-mı acaba?

İnsanın tinsel boyutunu tartışmanın sonu yok ancak tabiki dünyanın herkes için yaşanabilir olması için, asgari uyulması gereken olmazsa olmaz insan halleri gerekli ama nerde KAOSa bak.

Konu evrensel olunca lafı da bir yerde kesmek gerekiyor.O klişe bulunan cümle de(Işık ve sevgiyle kalmak) güzel ayrıca.Ben tekamülün sınırı olmadığına inanıp dünyadan payıma düşenlerle ışığa ulaşmaya çalışanlardanım. Kendinize,vicdanınıza,ruhunuza,bilincinize-
adına her ne diyorsanız-ve diğer insanları görebileceksiniz sanırım. yeterince zaman ayırırsanız orada kendinizi

Hoşça kalın.

Bazı arkadaşlar dünya meselelerıne değinip gerçekliğe davet ediyor bazı kadın erkek ilişkilerinden dem vuranları. Ancak insan ilişkilerindeki açmazlar değilmidir hepside?
İnsanın 'benim gibi düşünmedi öyleyse kahrolsun ya da ben kahrolayım'tripleri.

Olay basit kafa sayısı kadar düşünce çeşidi.

Tek yapabileceğin kendinde de dahil tek bir doğrunun olmadığını kabul edip değişime olabiliyorsa gelişime açık olabilmek.Kendine acımamak ve hala insan denen olguyu sevmeye devam etmek, algının dolayısıyla yargının durağan olmadığını kabul edip acınası olmamak.

Yaşamda köşeler yok o da dünya gibi yuvarlak ve döngüde. Hepimiz aynıyız ancak tutturamadığımız denk gelmeyen eşref ve eşşek saatlerimiz.

Bu nedenle insan kendine yol arkadaşı bulamaz ancak yoluna çıkanlarla zamanı olabildiğince paylaşır.
-mı acaba?

İnsanın tinsel boyutunu tartışmanın sonu yok ancak tabiki dünyanın herkes için yaşanabilir olması için, asgari uyulması gereken olmazsa olmaz insan halleri gerekli ama nerde KAOSa bak.

Konu evrensel olunca lafı da bir yerde kesmek gerekiyor.O klişe bulunan cümle de(Işık ve sevgiyle kalmak) güzel ayrıca.Ben tekamülün sınırı olmadığına inanıp dünyadan payıma düşenlerle ışığa ulaşmaya çalışanlardanım. Kendinize,vicdanınıza,ruhunuza,bilincinize-
adına her ne diyorsanız-ve diğer insanları görebileceksiniz sanırım. yeterince zaman ayırırsanız orada kendinizi

Hoşça kalın.

Sayın Eceberna'nın söylediklerinden çok fazla bir şey anlayamadım. Biraz daha açık olursa sevinirim.

Sayın Kenan Kablan'ın güzel yorumu için teşekkür ederim. Einsteinin koyduğu teoriye göre bir cismin ışık hızından daha yüksek hızla gitmesi mümkün değildir.

Zamanda geriye gitmek için ışık hızından daha hızlı olmak gerekiyor mu peki? Doğrusu bu konuda son zamanlara kadar bir çok yaklaşım vardır.

"Başım Dönüyor!

Zamanda ileri gittik; peki geriye gitmeye ne dersiniz? Bu iş biraz daha sorunlu.1948 yılında Princeton Üniversitesi İleri Araştırmalar Enstitüsü’nden matematikçi Kurt Gödel, Einstein’ın kütle çekimi alanı denklemlerine, ekseni etrafında dönen bir evreni tanımlayan bir çözüm getirdi. Evrenin dönüşü ışığı ( ve dolayısıyla cisimler arsındaki nedensellik bağlarını da ) birlikte sürükleyecekti. Dolayısıyla maddi cisimde, ışık hızını aşmaya gerek kalmaksızın uzayda ( dolayısıyla zamanda) kapalı bir halka çizecekti.Tabii Gödel’in çözümü, bir matematiksel acaiplik olarak bir kenara atıldı.Zaten evrenin bir bütün olarak döndüğünü gösteren herhangi bir gözlemde yok. Gene de Gödel’ in modeli, zamanda geriye gitmenin görelilik kuramınca yasaklanmadığını ortaya koydu. Aslında Einstein da kuramının bazı durumlarda geçmişe yolculuğa izin verdiği düşüncesinden rahatsızlık duyduğunu ifade etmiştir.



Daha sonra geçmişe yolculuğa izin veren başka kuramlar da ortaya çıktı.Örneğin, 1974 yılında Tulane Üniversitesi’nden Frank Tipler, kendi ekseni etrafında ışık hızına yakın hızda dönen ağır ve sonsuz uzunlukta bir silindirin, gene ışığı silindir çevresinde bir halka oluşturacak biçimde döndürerek astronotların kendi geçmişlerini ziyaret etmelerine olanak sağlayacağını hesapladı. 1991 yılında da Princeton Üniversitesi’nden Richart Gott, büyük patlamanın ilk anlarında ortaya çıktığı düşünülen yapılar olan kozmik sicimlerinde geçmişe yolculuk için benzer sonuçlar sağlayacağını hesapladı.



Ancak bir zaman makinesi için, ‘Kurtdeliği’ kavramına dayanan en gerçekçi senaryo, 1980’li yılların ortalarında oluşturuldu.

Bilimkurgunun klişe malzemesi kurtdelikleri, uzayda çok uzak iki noktayı birbirine bağlayan kestirme yollar olarak kavramlaştırılıyor. Olası bir kurtdeliğinin içine atladınız mı, gökadanın öteki ucundan çıkmanız an meselesi!

Genel göreliğe göre kütleçekimi yalnızca zamanı değil, uzayı da büktüğünden kurtdeliği kavramı Einstein’ın kuramıyla da çelişmiyor. Kuram, uzaydaki iki noktanın alternatif olarak biri yola, biri de tünele benzetilebilecek alternatif geçitlerle birleştirilmesine izin veriyor.Matematikçilerin dilinde bu, ‘çoklu bağlanmış’ bir uzay. Nasıl bir tepenin altından geçen tünel, üzerinden geçen yoldan daha kısa olabiliyorsa, bir kurtdeliği de bildiğimiz uzaydan geçen tanıdık yoldan daha kısa olabilir.Kurtdeliği, Carl Sagan tarfından 1985 yılında yazdığı Contact adlı romanda ( Türkçeye Mesaj adıyla çevrildi) bir bilimkurgu aracı olarak kullanılmıştı.Sagan’ ın isteği üzerine kuramsal fizikçi Kip Thorne ve arkadaşları kurtdeliklerinin bilinen fizik yasalarıyla tutarlı olup olmadığını incelediler.Thorne ve ekibinin çıkış noktası, kurtdeliğinin muazzam bir kütleye sahip olması, dolayısıyla da bir karadeliği andırması gerektiğiydi. Ancak karadeliğin içine giren her şeyin kaybolduğu tek bir kapısı varken, kurtdeliğinin bir girişi, bir de çıkışı olacaktı.

Kurtdeliğinden geçilebilmesi için, delikte Thorne’ un egzotik olarak tanımladığı maddeden bulunması gerekiyor.Bu büyük kütleli bir sitemin kendi ağırlığı altında çökerek bir karadelik oluşturma yolundaki doğal eğilimi dengelemek için gerekli. ‘kütleçekimsel itim’ negatif enerji ya da negatif basınçla oluşturulabilir.Belli kuantum sistemlerinde negatif enerji durumları var olabiliyor ve bu da Thorne’un istediği egzotik maddenin fizik yasalarınca dışlanmadığını gösteriyor.Ancak sorun, bir kurtdeliğini kararlı hale getirmeye yetebilecek miktarda itici maddeyi bir araya toplayabilmek.

Thorne ve arkadaşları, bir kurtdeliğinin oluşturulabilmesi halinde bunun kısa sürede bir zaman makinesine dönüştürülebileceğini de anladılar.Bir kurtdeliğinden geçen bir astronot evrenin başka bir yerinden çıkmakla kalmıyor, isterse zaman içinde de farklı bir yere, geleceğe yada geçmişe ulaşabiliyordu.Kurtdeliğini zamanda yolculuğa göre ayarlamak isteyince yapılacak şey, ağızlardan birini bir uzay gemisiyle çekerek bir nötron yıldızının yüzeyinin yakınlarına kadar getirmek.Nötron yıldızının güçlü kütle çekimi kurtdeliğinin girişi yakınlarında zamanı yavaşlatacak ve böylece giriş ve çıkış arasındaki zaman farkı giderek artacaktır.Bundan sonra her iki ağız da uzayda uygun bir yere sabitlendiğinde bu zaman farkı da sabitlenmiş olacak.



Diyelim, kurtdeliğinin iki ağzı arasındaki zaman farkı 10 yıl olsun.Kurtdeliğinden bir yönde geçen astronot, geleceğe 10 yıllık bir sıçrama yapmış olacak; buna karşılık öteki uçtan giren astronot da geriye doğru 10 yıl atlayacak.Böylece ikinci astronot eğer başladığı yere bildik uzaydan hızlı bir şekilde dönerse, daha yolculuğuna çıkmadan önce evine geri dönmüş olacak.Özetlenecek olursa, uzayda kapalı bir çember, zamanda da bir çember haline gelebilir.Tek sınırlama, astronotun ilk yapıldığı tarihten daha geride bir zamana gidememesi.Bu türden parodokslar, zaman yolcusu geçmişi değiştirmek gibi aslında olanaksız bir işe kalktıkça her zaman ortaya çıkacak.Ancak bu, bir kimsenin geçmişin bir parçası olmasına engel değil. Diyelim yolcumuz geçmişe gitti ve bir kızı öldürülmekten kurtardı; bu kızda büyüyüp evlenir ve yolcumuzun annesi olur.Bu durumda ilinti silsilesi artık kendi içinde tutarlı ve herhangi bir çelişki yok.Demek ki, sebeb – sonuç ilişkilerinde tutarlılık gereği, bir zaman yolcusunun ne yapıp ne yapmayacağına sınırlar getirilebilir, ancak, zaman yolculuğunu olanaksız kılmaz.

Zamanda yolculuk, çelişkiden kaçınsa bile, gene de gariplikleri tümüyle ortadan kaldırıyor değil.Zamanda yolculuk yapan birinin geleceğe doğru bir yıl sıçra****, bir derginin o tarihteki sayısında bir matematik proplemini okuduğunu, ayrıntıları not ettiğini, sonra da kendi zamanına dönerek teoremi bir öğrenciye öğrettiğini, öğrencinin de bunu derginin o tarihteki sayısında yazdığını düşünün.

Bu durumda şu soru ortaya çıkıyor: Teorem konusundaki bilgi nerden geldi?Açık ki, zaman yolcusundan gelmedi.Çünkü kendisi yazılmış teoremi yalnızca okuyup not etti.Öğrenciden de gelmedi; çünkü o da yolcudan öğrendi.Bilgi mantığa aykırı olarak hiçbir yerden gelmemiş görünüyor.Zamanda yolculuğun garip sonuçları, bazı bilim adamlarının bu düşünceyi baştan reddetmelerine yol açıyor.Cambridge Üniversitesi’nden Stephan W.Hawking, neden sonuç çemberlerini yasaklayan bir ‘kronoloji koruma varsayımı’ önermiş bulunuyor.Ancak görelilik kuramı bu tür çemberlere izin verdiğinden, kronolojinin korunması, işe müdahale ederek geçmişe yolculuğu önleyecek bir başka faktörün varlığını gerektiriyor.Bu faktör ne olabilir? Önerilen çözümlerden bir tanesi, kuantum süreçlerinin imdada yetişmesi.Bir zaman makinesinin varlığı, parçacıkların kendi geçmişlerine dönmesine izin verir.Yapılan hesaplar, ortaya çıkan çalkantının giderek kendini güçlendireceğini ve sonunda kurtdeliğini yok edecek, kontrolden çıkmış büyük bir enerji çıkışına yol açacağını ortaya koyuyor.Kronolojinin korunması, hala bir varsayım; dolayısıyla da, zamanda yolculuk hala bir olasılık.Olasılıkların ortadan kalkıp kesin bir yanıt verilebilmesi için , kuantum mekaniğiyle genel göreliğin, bir başka deyişle atomaltı ölçekte etki eden üç kuvvetle, kozmolojik ölçüde etkili kütleçekim kuramının, süpersicim ya da uzantısı olan M-kuramı gibi bütüncül bir kuram altında birleşmesiyle ortaya çıkabilir. Belki de inşasına başlanmış olan yeni kuşak parçacık hızlandırıcıları, atomaltı düzeyde kurtdelikleri oluşturulabilecek ve bunlar da parçacıklara zaman içinde bir tur attırabilecek.Bu, herhalde H.G Wells’in düş ürünü zaman makinesinden bir hayli farklı olacak. Ancak, fiziki gerçeklik konusunda zihnimizdeki resmi olağan üstü değiştireceği kesin.
"

Kaynak: http://www.zamandayolculuk.com/cetinbal/yenisayfalar.htm